Wir hatten in der letzten Vorlesung schon über die Ableitungsregeln gesprochen.

Wir haben die Produktregel gesehen.

Man kann Funktionen ja auch anders verknüpfen und zwar verketten, also hintereinander schalten.

Also erst eine Funktion ausführen, also zum Beispiel den Sinus und dann darf man den Cosinus hernehmen.

Diese verkettenen Funktionen kann man auch differenzieren.

Das sagt uns die Kettenregel.

Wir brauchen also zwei Funktionen F und G.

Wir haben hier ein Punkt x aus einem Intervall j und der wird abgebildet durch diese Funktion g auf einen Punkt g von x.

Und das bilden wir jetzt weiter ab.

Dazu nehmen wir eine zweite Funktion F und die bildet g von x ab auf f von g von x.

Also das ist die Verkettung von F und G.

Dazu brauchen wir erstmal die beiden Funktionen F und G mit ihren Definitionsbereichen.

Dazu nehmen wir Intervalle.

Das seien also i und j Intervalle in R, also auf der reellen Achse, eindimensionale Intervalle.

Zu den Funktionen Nähra war veränderlicher, kommen wir ja dann in der zweiten Hälfte dieser Vorlesung im Semester.

Dann bildet F das Intervall i nach R ab und G das Intervall j nach R ab.

Das sind dann beide differenzierbar.

Und wir müssen natürlich dafür sorgen, dass diese Verknüpfung definiert ist.

Und dazu muss das Bild von j, also G von j im Definitionsbereich von F liegen, also eine Teilmenge von i sein.

Wir setzen voraus, deshalb es gelte G von j, das ist die Bildmenge.

Dieses Intervall j ist eine Teilmenge von i.

Und jetzt betrachten wir diese Verkettung der Funktionen F und G.

Dann ist also H gleich F kringel G mit H von x gleich F von G von x differenzierbar auf diesem Intervall j.

Also durch die Verkettung der Funktionen verschlechtert sich nicht die Regularität, die Differenzierbarkeit bleibt hier erhalten.

Wir wollen natürlich auch wissen, wie man die Ableitungen jetzt ausrechnen kann.

Dazu gibt es folgende Formel H' von x, die Ableitung von H ist gleich F' an der Stelle G von x und dann multipliziert mit G' von x.

Also in der Formel kommen die Ableitungen von F und von G beide vor.

Die Ableitung von F wird an der Stelle G von x ausgewertet und dann noch mit G' multipliziert.

Das nennt man Nachdifferenzieren. Das kennen Sie ja auch, das wird gerne vergessen.

Und wenn der Faktor dann fehlt, das G' dann ist natürlich falsch.

Also hier dieses G' von x, das ist das Nachdifferenzieren.

Und hier können Sie natürlich auch wieder Induktion machen.

Sie können hier auch drei Funktionen verketten und dann liefert das die entsprechende Regel für die Ableitung.

Und dann wird das Nachdifferenzieren komplizierter und komplizierter, je mehr Funktionen Sie ineinander einsetzen.

Aber das Grundprinzip ist immer hier dieses.

Wir betrachten ein kleines Beispiel. Die Funktion H von x sei jetzt der Sinus von sagen wir x hoch 5.

Dann können wir H differenzieren und H' von x ist der Cosinus von x hoch 5.

Aber das ist noch nicht alles. Da kommt eben noch 5x hoch 4 als Faktor dazu, die Ableitung von x hoch 5.

Ein weiteres Beispiel für die Ableitungsregeln.

Wir betrachten den Tangens.

D nach dx vom Tangens von x ist ja die Ableitung so eines Pozienten Sinus von x geteilt durch Cosinus von x.

Also da wo der Cosinus nicht Null ist. Bei den Nullstellen der Cosinusfunktion sind ja gerade bei dem Tangens diese Polstellen.

Sie kennen ja den Graphen, der geht immer so von plus unendlich nach minus unendlich runter und dann wieder nach oben.

Und die Ableitung kann man jetzt nach der Pozientenregel ausrechnen.

Hier steht ja ein Pozent.

Also erhalten wir das Quadrat im Nenner. Das ist ja in der Pozientenregel ganz allgemein so.

Das ist g². Also bei uns ist das der Cosinusquadrat im Nenner.

Und dann leiten wir den Sinus ab. Das liefert einen Cosinus x. Dann kommt der Cosinus aus dem Nenner.

Dann kommt das Minuszeichen aus der Pozientenregel. Sie erinnern sich.

Aber Cosinus gibt ja Minus Sinus. Deshalb wird es hier zum Plus. Und dann haben wir Plus Sinus x mal Sinus x.